Los Múltiplos
Los múltiplos de un número son todos los posibles resultados de multiplicar ese número por todos y cada uno de los números naturales. Así, los múltiplos del tres son: el cero, que es el resultado de multiplicar tres por cero: el tres, que es el resultado de multiplicar tres por uno: el seis que se obtiene al multiplicar tres por dos: etc.
Como te podrás imaginar, el conjunto de los múltiplos de un número determinado (salvo el cero) es infinito, pues existen infinitos naturales para multiplicar.
Notaremos el conjunto de los múltiplos del número por En el caso del tres se tiene: En la siguiente imagen puedes observar otros ejemplos.
Propiedades de los múltiplos
1. Todo número distinto de 0 es múltiplo de sí mismo y de la unidad.
2. Los múltiplos de los números son infinitos.
3. Hay números que pueden ser múltiplos de varios números a la vez
4. La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
5. La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.
6. Si un número es múltiplo de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.
7. Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.
Los Divisores
Para definir qué son los divisores de un número se tomará el siguiente ejemplo: la división . El resultado es y sobra . Cuando un número que divide a otro produce un residuo de cero unidades, se dice que es divisor del número dividido. En este caso se puede decir que cuatro es divisor de doce, ya que el residuo de la operación es igual a .
Como te puedes dar cuenta, se puede decir que un número es divisor de otro si está contenido una cantidad entera de veces. En el ejemplo anterior cuatro es divisor de doce porque está exactamente tres veces en él. Fíjate que las expresiones y están estrechamente relacionadas.
Recuerda que el símbolo se puede interpretar como “veces”. Así, la expresión se lee “ veces es igual a ”, y significa que está contenido veces en . De la expresión se puede decir que está veces en
Un número puede tener varios divisores, usaremos el símbolo para representar el conjunto de los divisores del numero Por ejemplo, en el caso del doce se tiene:
Observa que los números y producen un residuo de cero cuando se divide en cada uno de ellos.
Para representar la divisibilidad entre dos números se usa el símbolo así: se escribe para decir “seis divide a doce” o “seis es divisor de doce”. En general, la expresión significa “ divide a ” o “ es divisor de ”.
Propiedades de los divisores
- La unidad es divisor de cualquier número
- Todo número distinto de 0 es divisor de sí mismo.
- Todo número, exceptuando el cero, tiene siempre dos divisores como mínimo: el 1 y él mismo.
- Todos los divisores de un número a han de ser mayores que 1 y menores que a. Por lo tanto, el conjunto de todos los divisores de un número es un conjunto finito de valores.
- Existen números que pueden ser divisores de varios números distintos.
- Si un número es divisor de otros dos, también lo es de su suma y de su diferencia.
- Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero.
- Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero.
- Si un número a es divisor de otro número b, entonces el cociente de esa división también es divisor de b. Por ejemplo, si 6 es divisor de 18, el cociente, que en este caso es 3, también es divisor de 18 (efectivamente 18 : 3 = 6 y la división es exacta).
- Los números que solo tienen por divisores a 1 y a sí mismos se llaman números primos. Por ejemplo, 11 es un número primo porque solo podemos realizar divisiones exactas con él si lo dividimos entre 1 o entre 11.
- Los números que no son primos, es decir, que tienen más divisores que el 1 y él mismo, se denominan números compuestos
- Si dos o más números no tienen divisores comunes, exceptuando el 1; entonces se dice que los números son primos entre sí.
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